À la mémoire de Claude Chevalley

Ce que j’ai à dire pourra paraître désordonné et hétérogène, et je vous prie de m’en excuser. J’espère que la discussion permettra de voir les fortes connexions qui relient les six points que j’ai décidé de traiter ensembles ; magmas ; puissance de la logique ensembliste-identitaire ; thèses ontologiques ; interrogations sur le vivant ; question de l’autonomie sociale et individuelle.

1. Ensembles

Dans une lettre de Cantor à Dedekind du 28 juillet 1899, on rencontre cette phrase étonnante et importante : « Toute multiplicité ou bien est une multiplicité inconsistante, ou bien elle est un ensemble » [1]. Dire d’une multiplicité qu’elle est inconsistante, implique évidemment que cette multiplicité est : elle est, d’une certaine façon, qui reste à préciser, et que Cantor ne précise pas. Il est clair qu’il ne s’agit pas de l’ensemble vide, lequel est un ensemble de plein droit, avec sa place dans la théorie des ensembles.

C’est vers ces multiplicités inconsistantes – inconsistantes du point de vue d’une logique qui se veut consistante ou rigoureuse – que je me suis tourné à partir du moment, en 1964-1965, où m’est apparue l’importance de ce que j’ai appelé l’imaginaire radical dans le monde humain. La constatation que le psychisme humain ne peut être « expliqué » par des facteurs biologiques, ni considéré comme un automate logique de n’importe quelle richesse et complexité ; aussi et surtout, que la société ne peut pas être réduite à des déterminations rationnelles-fonctionnelles quelles qu’elles soient (par exemple, économiques/productives, ou « sexuelles » dans une vue étroite du « sexuel »), indiquait qu’il fallait penser autre chose et penser autrement pour pouvoir comprendre la nature et le mode d’être spécifique de ces domaines, le psychique d’une part, le social-historique de l’autre. Il ne suffisait pas de poser simplement un type d’être nouveau, inouï, non pensé auparavant qui serait celui de la psyché et du social-historique. Cette position ne pouvait acquérir un contenu que si l’on parvenait à dire quelque chose sur la spécificité, non seulement phénoménologique et descriptive, mais logique et ontologique, de ces deux strates, le psychique et le social-historique. Notons au passage que cette spécificité se marque déjà dans leur mode de coexistence unique : le psychique et le social sont à la fois radicalement irréductibles l’un à l’autre et absolument indissociables, impossibles l’un sans , l’autre.

Pour ce mode d’être, et l’organisation logico-ontologique qu’il porte, j’ai abouti, après diverses pérégrinations terminologiques – amas, conglomérat et autres – au terme de magma. Je devais découvrir par la suite que les éditions de L’Algèbre de N. Bourbaki à partir de 1970 utilisaient le terme dans une acception qui n’a aucun rapport avec celle que je voulais lui donner et qui est, bien entendu, strictement ensembliste-identitaire. Comme le terme, par ses connotations, se prête admirablement à ce que je veux exprimer, et comme, j’ose dire, son utilisation par N. Bourbaki me semble à la fois rare et superfétatoire, j’ai décidé de le garder [2]

Avant d’aller plus loin, il me semble utile de fournir un repérage intuitif moyennant deux illustrations. Que chacun pense à la totalité des représentations dont il est capable : tout ce qui peut se présenter, et être représenté, comme perception présente de « réalité », comme souvenir, comme fantaisie, comme rêverie, comme rêve. Et que chacun essaie de réfléchir à la question : pourrait-on dans cette totalité vraiment séparer, découper, ranger, ordonner, compter – ou bien ces opérations sont-elles à la fois impossibles et absurdes eu égard à ce dont il s’agit ? Ou bien : que l’on pense à la totalité des significations qui pourraient être convoyées par des énoncés du français contemporain. Certes, ces énoncés en eux-mêmes sont en nombre fini : ils correspondent à des combinaisons des éléments d’un ensemble fini, elles-mêmes chaque fois à nombre de termes fini. Notons-le au passage, c’est à tort que l’on dit-comme Chomsky que la« créativité des locuteurs natifs » s’exprime dans le fait qu’ils peuvent former une infinité d’énoncés. En premier lieu, dans ce fait en tant que tel il n’y a aucune« créativité » : ils ’agit d’une activité purement combinatoire (laquelle, précisément parce que la dimension sémantique en est absente, est, depuis des années, trivialement reproductible par un ordinateur). Deuxièmement, il est faux de parler à ce propos d’un nombre infini d’énoncés. II ne pourrait y avoir nombre infini d’énoncés que si l’on pouvait se donner des énoncés d’une longueur arbitrairement grande, ce qui n’existe et ne peut exister dans aucune langue naturelle (et même dans aucun système à support physique). Les énoncés d’une langue (même si l’on ne peut pas fixer avec précision une borne supérieure de leur longueur permise) sont les arrangements avec répétition d’un nombre de termes fini (et relativement petit), termes pris eux-mêmes dans un ensemble fini (et relativement petit). Aussi grand que soit leur nombre, il est fini [3]. Mais cet aspect est encore secondaire, relativement à ce qui importe ici. Pour ce que j’ai à dire des magmas, l’opposition pertinente n’est pas fini/infini, mais déterminé/indéterminé. Or toutes les entités mathématiques sont parfaitement déterminées. Dans l’ensemble des réels, par exemple, n’importe quel nombre quel qu’il soit – rationnel, algébrique, transcendant – est parfaitement déterminé ; il n’existe pas la moindre ambiguïté concernant ce qu’il est, où il est, entre quels autres nombres il est, etc. Et, pas plus que l’opposition fini/infini, n’est ici pertinente l’opposition discret/continu (ou digital/continu) avec laquelle on a voulu « assouplir » la logique traditionnelle. À ce point de vue, il n’y a pas de différence essentielle entre la topologie et l’arithmétique. Les deux appartiennent à la logique ensembliste-identitaire. Les deux élaborent le monde du déterminé et de la détermination, le monde de la distinction catégorique (même si elle est « probabiliste » : une probabilité est déterminée ou n’est rien), le monde de la séparation (au sens certes courant, et non pas topologique, du terme séparation).

Rappelons-nous la définition des ensembles qu’en donnait le fondateur de la théorie, Cantor : « Un ensemble est une collection en un tout d’objets définis et distincts de notre intuition ou de notre pensée. Ces objets sont appelés les éléments de l’ensemble » [4] (Intuition, ici, c’est l’Anschauung non pas l’intuition bergsonienne, mais ce que l’on peut« voir » ou inspecter.) Cette définition, qu’on appellerait maintenant naïve, est fantastiquement profonde et éclairante, parce qu’elle exhibe l’indéfinissable dans la définition du défini, la circularité inéliminable dans toute entreprise de fondation.

On sait que très rapidement l’élaboration de la théorie des ensembles a fait apparaître des antinomies et des paradoxes (dont le paradoxe de Russell n’est que le plus célèbre). Pour les éviter, on a essayé de formaliser la théorie. On a ainsi abouti à différents systèmes d’axiomes, lesquels, au prix d’un formalisme toujours plus lourd, ont supprimé le contenu intuitif et clair de la définition de Cantor et cela, à mon avis, sans véritable gain formel [5]. On peut illustrer cela par deux exemples.

Dans un exposé relativement récent de la théorie axiomatique des ensembles, celle-ci apparaît comme faisant un usage intensif et très lourd de la mathématique constituée ; des morceaux énormes d’autres branches des mathématiques (eux-mêmes mettant en jeu, évidemment, une foule de présupposés) sont mis à contribution. L’existence d’un cercle vicieux est manifeste. L’auteur en est certes parfaitement conscient, et sa réponse revient à dire que la théorie axiomatique des ensembles ne vient pas « au début » des mathématiques, mais que cela serait, « peut-être », vrai pour la « théorie naïve » [6]. Sur ce« peut-être » on pourrait facilement faire de l’humour. Retenons-en simplement l’aveu que l’on ne sait pas avec certitude ce qui doit venir « au début » des mathématiques – à savoir, à partir de quoi et moyennant quoi on démontre quoi que ce soit en mathématiques.

J’ose croire, pour ma part, que la théorie « naïve » des ensembles vient en effet « au début », qu’elle est inéliminable, et qu’elle doit être posée d’emblée, avec ses circularités et ses axiomes reliant entre eux des termes indéfinissables qui n’acquièrent leur consistance que par la suite, moyennant leur utilisation effective. Le cercle axiomatique n’est que la manifestation formalisée du cercle originaire impliqué par toute création.

On peut illustrer ce point, s’il en est besoin, par la pseudo-définition du terme « ensemble » que fournit N. Bourbaki à un moment où son courage faiblit et où, pensant peut-être à sa grand-mère, il consent à s’exprimer en français, tout en rappelant qu’il ne peut pas y avoir de « définition » de ce terme. « Un ensemble est formé d’éléments susceptibles de posséder certaines propriétés et d’avoir entre eux, ou avec des éléments d’autres ensembles, certaines relations » [7]. Les quatre mots soulignés dans l’original – ensemble, éléments, propriétés, relations – le sont-ils parce qu’ils introduisent dés termes spécifiques à cette théorie ou bien parce qu’ils sont considérés comme indéfinissables, ou bien encore parce qu’ils sont considérés comme encore plus indéfinissables que les autres termes de la phrase ? Mais les termes « être formé », « être susceptible de posséder », « avoir » ou « autre » sont-ils moins mystérieux que « ensemble », « propriété », etc.?

Bien entendu, la véritable « définition » des ensembles, du point de vue mathématique, se trouve dans les groupes d’axiomes que fournissent les diverses formalisations de la théorie. Ce n’est pas mon propos d’en discuter ici. Je vais plutôt essayer de dégager ce que je considère comme les traits essentiels, ou, encore mieux, les « catégories » ou opérateurs logico-ontologiques qui sont nécessairement mis en œuvre par la logique ensembliste-identitaire, que celle-ci fonctionne dans l’activité d’un mathématicien ou dans celle d’un sauvage qui classifie les oiseaux, les poissons et les clans de sa société. Les principaux de ces opérateurs sont : les principes d’identité, de non-contradiction et du tiers exclu ; l’équivalence propriété = classe ; l’existence fortement affirmée de relations d’équivalence ; l’existence fortement affirmée de relations de bon ordre ; la déterminité. Un bref commentaire sur ces termes n’est pas inutile.

Au lieu de tiers exclu, on peut parler de énième exclu ; il n’y a aucune différence essentielle. L’équivalence propriété = classe a été, comme on le sait, contestée parce que, prise absolument, elle conduit au paradoxe de Russell. Mais en fait on ne pourrait fonctionner une seconde, ni en mathématiques ni dans la vie courante, sans poser constamment qu’une propriété définit une classe et qu’une classe définit une propriété de ses éléments (appartenir à cette classe). Inférer de telle propriété d’un élément qu’il appartient ou n’appartient pas à tel ensemble, ou l’inverse, c’est le pain quotidien de toute démonstration mathématique.

L’existence fortement affirmée de relations d’équivalence pose des questions plus complexes. On sait que, dans. les théories formalisées, la relation d’équivalence est un concept défini à une étape assez avancée de la construction. Mais en fait la relation d’équivalence est présupposée, et avec le contenu le plus fort possible, celui de l’identité absolue de soi à soi, dès le premier pas de la mathématique (comme de la pensée ordinaire). Elle est même posée, paradoxalement, comme postulat (implicite) contrefactuel. Le x qui apparaît à deux endroits différents d’une démonstration quelconque doit être pris comme le même x – bien qu’il ne soit, de toute évidence, « matériellement » pas le même. Il n’y a pas de mathématique sans signes, et pour utiliser les signes il faut pouvoir poser que deux « réalisations » différentes de x sont absolument le même x. Certes, du point de vue de la mathématique formalisée, on dira que cette identité absolue de soi à soi imposée à ce qui est « matériellement » différent est simplement une équivalence toute relation que l’on pourrait définir. C’est là la définition de l’identité en mathématiques ; elle est la même que celle que donnait déjà Leibniz, lorsqu’il disait : eadem sunt quae substitui possunt salva veritate, « sont identiques les choses que l’on peut substituer les unes aux autres en sauvant la vérité » – en sauvant toutes les vérités. Mais il est clair que l’on ne peut substituer une chose à une autre chose en sauvant toutes les vérités ; cela ne pourrait se faire que s’agissant de choses absolument indiscernables – auquel cas il ne pourrait pas être question de substitution. On reste donc – en dehors de l’identité de soi à soi – avec simplement l’équivalence modulo telle relation, l’équivalence relative, l’équivalence quant à…

La relation de bon ordre, aussi, apparaît dans la mathématique formalisée comme une construction qui intervient à une étape avancée du développement. En fait, elle est utilisée et opérante dès le premier moment. N’importe quelle formule, n’importe quelle démonstration présupposent le bon ordre et le mettent en œuvre. Comme on sait, il n’y a nullement équivalence entre les énoncés « quel que soit x il existe y tel que R (x, y) » et « il existe y tel que quel que soit x R (x, y) », qui ne diffèrent entre eux que par l’ordre des signes (termes). Certes, ici – comme aussi dans le cas précédemment évoqué de la relation d’équivalence présupposée avant qu’elle ne soit « construite » – , l’objection formaliste est connue. Le formaliste nous reprocherait – à bon droit, en un certain sens – de confondre les niveaux ; il affirmerait que le bon ordre qui doit régner sur les signes d’une formule ou d’une démonstration n’est pas le bon ordre défini à l’intérieur des mathématiques, de même que l’équivalence des différentes occurrences d’un signe n’est pas l’équivalence mathématique ; il s’agirait, dans les deux cas, de notions méta-mathématiques. L’objection est irréfutable, et privée de tout intérêt. De même, il est simplement « logique et vide », comme dirait Aristote (« logique », ici, voulant dire sous la plume d’Aristote, en fait éristique), d’affirmer que dans une théorie stratifiée (comme la théorie des types de Russell) l’« équivalence » n’a pas le même sens au premier niveau, au deuxième niveau, au énième niveau, etc. Car, déjà dire que l’équivalence n’a pas le même sens à travers les niveaux implique que l’on se donne, comme inspectable d’emblée et simultanément (du point de vue logique), la totalité (dénombrable) de ces niveaux et qu’il existe une catégorie d’équivalence hors niveau (ou valant à travers et pour tous les niveaux), qui s’applique (et, en l’occurrence, ne s’applique pas) aux« équivalences » rencontrées sur les niveaux particuliers. Nous nous intéressons ici aux opérateurs logico-mathématiques (catégories) impliqués, dès les premiers pas, dans la construction des mathématiques elles-mêmes. La formalisation de la théorie des ensembles, et de la logique ensembliste-identitaire, présuppose absolument la mise en œuvre de catégories et d’opérateurs de la« logique naturelle », c’est-à-dire de la logique ensembliste-identitaire déjà immanente dans le langage comme une de ses dimensions. La « construction » de la logique ensembliste-identitaire présuppose la logique ensembliste-identitaire (et certes aussi autre chose : l’imaginaire radical).

Enfin, moyennant tous ces termes, opère cette hypercatégorie, ce schème originaire de la logique ensembliste-identitaire qu’est la déterminité. La déterminité fonctionne, dans toute l’histoire de la philosophie (et de la logique) comme une exigence suprême, mais plus ou moins implicite ou cachée. Elle est relativement moins cachée chez les anciens Grecs ; le peras (la limite, la détermination) qu’ils opposent à l’apeiron ( « indéterminé ») est, pour eux, la caractéristique décisive de toute chose dont on peut vraiment parler, c’est-à-dire qui est vraiment. À l’autre bout de l’histoire de la philosophie, chez Hegel, le même schème opère tout aussi puissamment, mais de manière beaucoup plus implicite : c’est la Bestimmtheit, la déterminité, que l’on rencontre dans chaque page de la Science de la logique, mais qui n’est nulle part thématisée et explicitée. Il s’agit là de la tendance dominante, du courant central de la pensée philo­ sophique. On trouvera certes, chez les grands philosophes, des qualifications ou des restrictions apportées à cette thèse. Déjà le pythagoricien Philolaos affirmait que tout ce qui est est fait de peras et d’apeiron ; idée que reprendra et enrichira Platon en écrivant : « tout ce qui peut être dit être est fait d’un et de plusieurs, et comporte poussant avec lui dès le départ le peras et l’apeiron » [8]. Mais la fixation du courant dominant de la philosophie sur la déterminité et le déterminé se traduit par cela, qu’alors même qu’une place est reconnue à l’indéterminé, à l’apeiron, celui-ci est posé comme hiérarchiquement « inférieur » : ce qui est vraiment est ce qui est déterminé, et ce qui n’est pas déterminé n’est pas, ou est moins, ou a une qualité inférieure d’être.

Dans tout cela, il n’y a pas seulement une« logique ». Il y a une décision ontologique – clairement affirmée, dès les débuts de la philosophie, avec Parménide – et une constitution/création. Moyennant les catégories ou opérateurs mentionnés, on constitue une région de l’être – et, en même temps, l’on décide soit qu’elle épuise l’être (le rationalisme intégral, l’idéalisme absolu ou le réductionnisme mécaniste-matérialiste n’en sont que des formes), soit qu’elle représente le paradigme du vraiment étant (ontos on), le reste étant accident, illusion et erreur, ou imitation déficiente, ou « matière » amorphe et essentiellement « passive ». Même pour Kant, c’est cette équivalence être = être déterminé qui reste l’étoile polaire ontologique « … toute chose, quant à sa possibilité, est soumise encore au principe de la détermination complète suivant lequel, de tous les prédicats possibles des choses, en tant qu’ils sont comparés à leurs contraires, un seul doit lui convenir (…). Cette proposition : toute chose existante est complètement déterminée, signifie que, non seulement de chaque couple de prédicats contradictoires donnés, mais aussi de tous les prédicats possibles, il y en a toujours un qui lui convient » [9] On remarquera la très profonde et nullement accidentelle proximité de cette idée avec le concept mathématique d’ultrafiltres [10], On remarquera aussi que cette décision proprement métaphysique [être = être déterminé] reste encore centrale dans la science contemporaine, malgré les ébranlements qu’elle a subis depuis soixante ans par l’évolution même de cette science.

2. Magmas

On ne peut parler des magmas que dans le langage ordinaire. Cela implique que l’on ne peut en parler qu’en utilisant la dimension ensembliste-identitaire de ce langage. C’est ce que je vais faire dans ce qui suit. La situation va être aggravée même, dans la mesure où, en essayant d’en parler d’une manière rigoureuse, on aura à faire appel à des termes et des notions qui soit appartiennent à la logique et la mathématique constituées, soit s’y réfèrent. Situation plus lourde que’ celle que l’on rencontre dans le cas de la « fondation » de la théorie des ensembles ou de la mathématique, puisque ici il ne s’agit pas seulement de« cercle vicieux » mais d’une entreprise que l’on pourrait qualifier d’antinomique ou inconsistante. Nous allons utiliser le langage et, dans une certaine mesure, les ressources de la logique ensembliste-identitaire pour définir, éclairer et même justifier la position de quelque chose qui dépasse la logique ensembliste-identitaire et même la transgresse. En utilisant les ensembles, on va tenter de décrire les magmas. Et, idéalement, à partir des magmas, nous devrions essayer de décrire les ensembles comme « plongés dans » les magmas. Tout au plus, nous pouvons prendre une précaution morale, en attirant l’attention du lecteur sur le fait que tous les termes logiques ou mathématiques utilisés dans ce qui suit sont idéalement placés entre un nombre de guillemets arbitrairement grand.

Je rappelle, pour commencer, la « définition » du magma que je donnais dans L’Institution imaginaire de la société (p. 461) : « Un magma est ce dont on peut extraire (ou : dans quoi on peut construire) des organisations ensemblistes en nombre indéfini, mais qui ne peut jamais être reconstitué (idéalement) par composition ensembliste (finie ou infinie) de ces organisations. »

Ainsi, encore une fois, si l’on prend la totalité des significations que porte ou peut porter le français contemporain, on peut en extraire un nombre arbitraire d’organisations ensemblistes. Mais on ne pourrait pas la refabriquer à partir d’éléments ensemblistes quelconques.

Je note en passant que Jean-Pierre Dupuy m’avait fait remarquer que la « définition » citée plus haut n’est pas satisfaisante, car elle couvrirait aussi bien ce que, pour éviter le paradoxe de Russell, on a appelé en mathématiques « classe ». L’objection est formellement correcte. Elle ne me trouble pas beaucoup, car j’ai toujours pensé, et pense toujours, que la « classe », dans cette acception, est un artefact logique construit ad hoc pour contourner le paradoxe de Russell, ce qu’il ne réussit à faire que moyennant un regressus ad infinitum.

Mais, plutôt que de commenter cette « définition », on va essayer ici d’éclairer d’autres aspects de l’idée de magma, en explorant les voies (et les impasses) d’un langage plus « formel ».

Pour cela, il est nécessaire d’introduire un terme/relation primitif (indéfinissable et indécomposable) : le terme/relation repérer, à valence à la fois unaire et binaire. Ainsi, on suppose que le lecteur comprend sans ambiguïté les expressions : « repérer X » ; « X repère Y » ; « repérer X dans Y » (repérer un chien ; le collier repère le chien ; repérer le chien dans le champ). En utilisant ce terme/relation, je « définis » un magma par les propriétés suivantes :

M 1 : Si M est un magma, on peut repérer dans M des ensembles en nombre indéfini.

M 2 : Si M est un magma, on peut repérer dans M des magmas autres que M. 

M 3 : Si M est un magma, il n’existe pas de partition de M en magmas.

M 4 : Si M est un magma, toute décomposition de M en ensembles laisse comme résidu un magma.

M 5 : Ce qui n’est pas magma est ensemble ou n’est rien.

La première propriété assure le pont indispensable vers les domaines formalisables et leurs applications, c’est-à-dire le savoir« exact ». Elle permet également d’éclairer le terme/relation (ou : opération) de repérage, En effet, pour pouvoir parler de M, je dois pouvoir, au départ, repérer M « comme tel » vaguement – et le repérage dans M d’une « suite » d’ensembles définis me permet de rendre progressivement moins « vague » l’identification de M. 

La deuxième propriété exprime une inexhaustibilité, ou potentialité indéfinie. Mais ce qu’elle exprime implicitement, et qui surtout importe ici, c’est qu’il ne s’agit pas seulement et pas tellement d’une inexhaustibilité quantitative. Ce n’est pas la cardinalité qui est ici en jeu, le « nombre d’objets » que peut « contenir » un magma (sur ce plan on ne peut pas aller plus loin que la mathématique existante), mais l’inexhaustibilité de modes d’être (et de types d’organisation) que l’on peut y découvrir (et qui restent évidemment, chaque fois, à spécifier tant que faire se peut).

La formulation de cette deuxième propriété fait surgir une question : quand est-ce qu’un magma est autre qu’un (autre) magma – ou : comment le sait-on ? On peut y répondre par une question : quand est-ce qu’un signe d’une théorie mathématique est autre qu’un (autre) signe, et comment le sait-on ? Ce qui est mis en jeu par la propriété M 2 relève de la même chose que ce qui est mis en jeu, non-ou pré-mathématiquement, dans toute théorie mathématique et, plus simplement, dans tout acte de langage : poser originairement et simultanément le signe et ce dont il est signe dans leur identité à eux-mêmes et leur différence relativement à tout le reste [11].

La troisième propriété est sans doute la plus décisive. Elle exprime l’impossibilité d’appliquer ici le schème/opérateur de la séparation – et, surtout, sa non-pertinence dans ce domaine. Dans le magma de mes représentations, je ne peux pas séparer rigoureusement celles qui « renvoient à ma famille » et les autres. (Autrement dit : dans les représentations qui, de prime abord, « ne renvoient pas à ma famille », s’origine toujours au moins une chaîne associative qui, elle, conduit à « ma famille ». Cela revient à dire qu’une représentation n’est pas un « être distinct et bien défini », mais qu’elle est tout ce qu’elle entraîne avec elle.) Dans les significations convoyées par la langue française contemporaine, je. ne peux pas séparer rigoureusement celles qui (non pas dans ma représentation, mais dans la langue elle-même) renvoient d’une manière quelconque aux mathématiques, et les autres. On peut donner à cette propriété une formulation plus faible : les « intersections » de sous-magmas ne sont presque jamais vides. (Notons à ce propos que le langage que nous devrions utiliser devrait être plein de : « presque partout »,« presque jamais »,« fortement », « faiblement », etc.)

La quatrième propriété est surtout utile par son « complément » : si X est exhaustivement décomposable en ensembles, alors X est un ensemble et non un magma. Par exemple, un être mathématique aussi monstrueux que ƒ (!ℝN, ℝN), l’ensemble des applications de ℝN dans lui­ même, est exhaustivement décomposable, et ce d’une infinité de manières, en ensembles.

La cinquième propriété équivaut à affirmer que l’idée de magma est absolument universelle -ou, de manière plus pragmatique, que nous appelons magmatique tout mode d’être/mode d’organisation non ensembliste-identitaire que nous rencontrons ou que nous pouvons penser. (Il revient au même de dire que tout ce qui est/tout de1 qui est concevable, et dans quoi nous sommes, est un sur-magrna.)

Voici maintenant une tentative de « remonter au-dessus » des magmas -ou de « descendre en dessous » des magmas – pour les « construire », en même temps que les ensembles, à partir d’autre chose. Cette tentative échoue, mais je crois cet échec instructif.

Nous nous donnons toujours le terme/relation/opération « repérer » et, comme auparavant, la notion d’ensemble. L’on définit une diversité (polueidès, Platon iMannigfaltigkeit, Kant) par :

D 1 : Si dans D on peut repérer une famille d’ensembles non vides, D est appelé une diversité.

D 2 : Soit N la réunion des ensembles repérés dans D. Si D-N = Ø, D est un ensemble. Si D-N ≠ Ø, D est un magma.

Adjoignons à D 1 et D 2, les propriétés M 1-M 4. Il est à peine nécessaire de rappeler les multiples abus de langage et de notation dans ce qui précède. (D-N n’a de sens que si N est une partie d’un ensemble D ; X ≠ Ø n’a de sens que si X est un ensemble, etc.) Notons simplement ceci : si D-N ≠ Ø, D-N est un magma d’après D 2 et M 4 ; donc (M 1), il existe des ensembles repérables dans D-N. Donc, N défini comme la réunion des ensembles repérables dans D ne contient pas tous ces ensembles : contradiction.

Cet exemple ne « prouve » certes rien. Mais, outre l’impossibilité qu’il illustre de« remonter au-dessus » des magmas, il indique peut-être aussi autre chose. La voie féconde n’est peut-être pas la voie « constructive » et « finitiste », celle qui procède par position d’ « éléments » et d’ « inclusions », mais une autre. Les magmas excèdent les ensembles non pas du point de vue de la « richesse de la cardinalité » (de ce point de vue, rien ne peut excéder l’échelle cantorienne des infinis), mais du point de vue de la« nature de leur constitution ». Celle-ci ne se reflète que très imparfaitement, et de manière très appauvrissante, dans les propriétés M 1- M 4 et, je crois, dans toutes autres propriétés du même type que l’on pourrait inventer. Et cela, encore une fois, indépendamment des cercles et des pétitions de principe qui y font nécessairement leur apparition.

C’est pourquoi, tout en conservant les propriétés M 1 - M 4 comme « descriptives » ou « intuitives », nous essaierons une autre voie.

Nous nous donnons la mathématique constituée, et une autre « primitive » : les classes d’énoncés portant sur un domaine O. On dira qu’une classe d’énoncés possède une organisation ensembliste-identitaire si tous ses énoncés sont des axiomes, des théorèmes ou des propositions indécidables au sens de Gödel (ce qui revient à dire que tous ses énoncés sont formellement constructibles et qu’ils sont « localement décidables » presque partout). On dira qu’une classe d’énoncés C est référée à D s’il existe une correspondance bi-univoque (bijection) entre une partie (non vide) des signes de Cet une famille de parties (non vide) de D. On dira enfin qu’un énoncé e de C est significatif au sens ensembliste-identitaire si le méta-énoncé : « il existe des objets de D qui satisfont à e ou à non-e ; ou bien, e (ou non-e) appartient à une chaîne déductive où il est connecté à un e’ qui satisfait à la condition précédente », est vrai.

Si les énoncés significatifs au sens ensembliste-identitaire épuisent la classe des énoncés significatifs référés à D, alors D est un ensemble. S’il existe des énoncés significatifs référés à D et qui ne sont pas significatifs au sens ensembliste­ identitaire, alors D est un magma.

On remarquera que la distinction ainsi faite semble comporter (et comporte effectivement) une dimension « empirique », « historique » ou « contingente » : on ne peut pas dire d’avance si un domaine D qui pendant très longtemps est apparu comme non ensemblisable, ne sera pas, par la suite, ensemblisé (c’est, on le sait, ce qui s’est passé progressivement avec des domaines considérables). La question se pose donc de savoir si la distinction que l’on tente d’établir n’est pas simplement historique ou relative – relative à une étape du processus de formalisation/ensemblisation. Autrement dit : existe-t-il des magmas irréductibles ?

La réponse est affirmative, et l’on peut exhiber immédiatement un tel magma : l’activité de formalisation elle-même n’est pas formalisable. Toute formalisation présuppose une activité de formalisation et celle-ci n’est pas formalisable (sauf, peut-être, dans des cas triviaux). Toute formalisation s’appuie sur les opérations originaires d’institution de signes, d’une syntaxe et même d’une sémantique (sans laquelle elle est vaine et sans intérêt). Ces opérations sont le présupposé de toute formalisation ; toute tentative de les pseudo-formaliser ne ferait que les repousser d’un cran. C’est ce dont est finalement obligée de convenir la « Préface » de N. Bourbaki : nous ne prétendons pas enseigner la mathématique à« des êtres qui ne sauraient pas lire, écrire et compte » [12].

De cela découlent des conséquences intéressantes. Par exemple, si l’on admet (ce qui me paraît évident) que toute théorie déterministe doit correspondre à une chaîne d’énoncés significatifs au sens ensembliste-identitaire, il en résulte qu’il existe des domaines auxquels des énoncés significatifs peuvent être référés, mais qui ne satisfont à aucune théorie déterministe. (Bien entendu, la distinction habituelle entre déterministe et probabiliste est sans aucun intérêt ici : les énoncés probabilistes sont des énoncés déterministes puisqu’ils assignent des probabilités déterminées à des classes d’événements déterminés. La théorie des probabilités et toutes ses applications relèvent pleinement de la logique ensembliste-identitaire.) Autrement dit : toute théorie déterministe est formée par des chaînes d’énoncés significatifs au sens ensembliste-identitaire, et, par conséquent, aucune théorie déterministe ne peut avoir de validité autre que« locale ». Bien évidemment, cela ne règle nullement la question de savoir si tel domaine particulier – le domaine « physique », par exemple – satisfait ou non à une ou à des théories déterministes.

[Je ne veux pas clore cet aspect de l’examen sans mentionner l’heureux hasard théorique qu’a été pour moi la rencontre avec une participante du colloque, Mme Mugur-Schächter, qui a eu la gentillesse de m’offrir un tiré à part du texte qu’elle a publié dans Einstein 1879-1955 (Colloque du Centenaire, Collège de France, 6-9 juin 1979, Paris, Éditions du CNRS, 1980, p. 249-264). Présenté à une table ronde de ce colloque consacrée à ce que l’on appelle le paradoxe d’Einstein, Podolsky et Rosen, en bref paradoxe EPR – et qui a cessé d’être un « paradoxe », depuis les expériences de Freedman et Clauser, Fry et Thompson, enfin Aspect et ses collaborateurs – , ce texte contient une foule de formulations qui m’enchantent. Je rappelle auparavant l’ironie tragique que contient la définition et l’histoire de ce « paradoxe » : formulé en 1935 par Einstein et ses deux collaborateurs d’alors pour montrer, sur la base d’un expériment mental, que l’hypothèse que la mécanique quantique est complète est incompatible avec l’idée d’une « réalité objective », il a conduit, moyennant. la formulation des « inégalités de Bell » (1965), aux expériences mentionnées plus haut, dont la seule interprétation possible semble bien être la nécessité d’abandonner l’idée d’une « réalité à déterminisme local », ou de séparabilité des « phénomènes élémentaires ». (Cf. aussi mon texte « Science moderne et interrogation philosophique », 1973, repris dans Les Carrefours du labyrinthe, op. cit., p. 160-164 ; pour des indications bibliographiques plus récentes, outre celles fournies par Mme Mugur-Schâchter, art. cité, voir les références dans B. d’Espagnat, À la recherche du réel, Paris, Gauthier-Villars, 1979, p. 175, et Une incertaine réalité, Paris, Gauthier-Villars, 1985, p. 301-304 ; pour les discussions antérieures du « paradoxe », cf. A. Pais,« Subtle is the Lord… », Clarendon Press, Oxford, 1982, p. 455-459, avec bibliographie). Cette non-séparabilité possède sans doute une importance philosophique capitale, qui me semble loin d’être élaborée. Mais ce qui m’importe ici, c’est l’admirable description par Mme Mugur-Schâchter de la manière dont le physicien extrait de (ou impose à) ce que j’appellerai le magma de l’être/étant physique un quadrillage ensembliste-identitaire – ce qu’elle désigne respectivement par« boue sémantique » et « organisation syntaxique ». Mais il vaut la peine de citer in extenso les lignes où, après un enchaînement de formules, elle se retourne sur son activité :

«  Je m’arrête un instant et je regarde ce que je viens d’écrire. Quel mélange de ’nécessités’ et d’arbitraires, de signes et de mots qui ont l’air de pointer vers un designatum précisé et sous lesquels pourtant on ne trouve que des images floues et mouvantes accrochées à ces mots et ces signes de manière non séparée [souligné par moi, C. C.]. J’écris entre guillemets ’valeur du temps’, par exemple, parce qu’à chaque fois que je réfléchis au degré d’inexploration où se trouvent encore les concepts de durée et de temps et leur relation, je ressens une réticence à écrire quoi que ce soit en dehors d’un algorithme qui fixe une règle du jeu. La paramétrisation de la propriété fondamentale de durée à l’aide de la variable de temps t, telle que cette paramétrisation est pratiquée dans les théories existantes -et même dans la Relativité -, est encore certainement très simplificatrice et souvent falsificatrice, rigidifiante, mécanisante en quelque sorte. Les changements ne sont pas toujours des déplacements d’entités stables intérieurement. [Ne pas oublier que toute la physique depuis Galilée est fondée sur ce postulat : tout est réductible aux déplacements d’entités ’élémentaires’ intérieurement stables. Je parle de la physique théorique, non pas de la cuisine à prédictions numériques, C. C.] Pour pouvoir rendre compte pleinement de l’entière diversité des types et des intensités des changements, il faudrait une sorte de grandeur vectorielle, un champ de temps processuel défini en chaque point de l’espace abstrait encadré par l’axe de durée et par les axes des changements envisagés. Mais un tel temps se transformerait-il selon Lorenz ? Quel rôle joue la vitesse d’un ’signal’ lumineux face aux vitesses de propagation d ’’influences’ (?) dans un tel espace processuel ? Qu’est-ce que la Relativité impose véritablement au processus quelconque, et qu’est-ce qu’elle laisse en blanc ? Lorsqu’il s’agit de processus (relativement) très ’intenses’ localement, ’catastrophiques’, comme l’est probablement la ’création d’une paire’, que devient le ’temps’ ? En théorie générale relativiste de la gravitation par exemple, un gradient non nul du champ de gravitation [à savoir plus simplement la simple existence d’un champ gravitationnel, sans laquelle des ’observateurs’ réels sont évidemment impossibles, C. C.] est lié à une non-définissabilité d’un temps unique pour les observateurs d’un même référentiel, si ces observateurs sont spatialement distants l’un de l’autre. [En d’autres termes : en relativité générale, pour des observateurs réels distants il n’y a pas de temps unique, ni, contrairement à la relativité restreinte, de possibilité de transformation univoque entre les temps des différents observateurs, C. C.] Quant à l’invariance de la vitesse de la lumière elle-même (et non la vitesse d’autres sortes d’’influences’) lorsqu’on passe d’un référentiel à un autre, elle n’est postulée que localement car il n’existe aucune définition univoque des distances et des temps dans des champs gravitationnels variables (Weinberg, Gravitation and Cosmology, J. Wiley Sons, New York, 1975) (espace-temps courbe). Comment savoir quelle sorte de ’courbure’ locale de l’espace-temps produit (ou non) un processus – essentiellement variable= . de création d’une paire ? [Évidemment, le ’local’ est une strate non locale, C. C.] Enfin, la Relativité n’introduit aucune quantification, sa description est continue. Lorsqu’on écrit vitesse = distance/temps, le temps est un paramètre continu.

« Si ensuite on se demande comment on trouve la valeur de t, on s’aperçoit qu’elle est de la forme NTH, où N est un entier et TH une ’période d’horloge’ (supposée constante !), ce qui ramène au discret. En macroscopie ou cosmologie cela peut être négligeable aussi bien sur le plan du principe que sur le plan numérique. Mais, lorsqu’on considère des processus microscopiques qui, comme la création d’une paire, sont essentiellement quantiques et relativement très brefs, quel est le degré de signifiance d’une condition comme

v = distance/temps = distance/ NTH = const. ?

« Quelle horloge faut-il choisir, avec quel TH et comment par ailleurs s’assurer que, lorsqu’on écrit ∆t = 10-x, on fait plus qu’un calcul vide de sens ?

« On comprend, devant de telles questions, les prudences positivistes et les normes qui conseillent de se maintenir dans la zone salubre de l’opérationnellement défini et du syntaxisé, où la pensée circule sur des voies tracées et consolidées. Au-dehors, on s’enfonce dans une véritable boue sémantique. Pourtant ce n’est que là, dans cette boue, et lorsqu’on force le regard à discerner les formes mouvantes, que l’on peut percevoir les contacts entre le non fait et le partiellement fait et amorcer ainsi du nouveau » (op. cit., p. 256-257 ; la dernière phrase est soulignée par moi, C. C.).

Je ne veux pas commenter cet extrait, qui me semble parler suffisamment de lui-même. Je remarque simplement que ce que Mme Mugur-Schächter appelle la boue sémantique pourrait tout aussi bien être appelé l’humus ou le limon où naissent les significations ; c’est ce limon-l’imaginaire radical – qui engendre les schèmes permettant au physicien d’aller plus loin, et précisément dans l’ensemblisation de l’être-étant physique – lequel, par ailleurs, s’y prête indéfiniment, et pas n’importe comment, c’est ce que montre toute l’histoire de la physique. En outre, on peut à partir de ces formulations illustrer une fois de plus la thèse déterministe (dont la substance logiciste apparaît ainsi de manière éclatante) : la « boue » – le magma – est « provisoire », illusion, ou résidu, due à l’état de notre ignorance ; demain on l’asséchera complètement (inscription connue sur la vitrine d’un barbier déterministe et malhonnête).]

Il nous faut revenir sur la question de la signification. On a essayé de préciser ce que peut être un énoncé significatif au sens ensembliste-identitaire. Peut-on aller plus loin ?

On peut donner au terme sens une interprétation, dans ses deux acceptions essentielles qui, je crois, épuisent le sens du sens pour la logique ensembliste-identitaire (et, peut-être, pour la « logique du vivant » – du vivant comme tel).

1. « ’Sinn’ en allemand n’a pas tout à fait le même sens que ’sens’ en français. » Ici, sens a l’acception de valoir comme e « valeur d’échange »= équivalence = « classe ».

2, « Ce que tu fais là n’a pas de sens »,« traiter une pneumonie par des douches écossaises n’a pas de sens ». Ici, sens a l’acception de valoir pour = « valeur d’usage » = appropriation, adéquation, appartenance = « relation ».

Bien évidemment, chacune des deux acceptions renvoie à l’autre, à la fois horizontalement et « en escalier » [13]

Thèse : la signification au sens ensembliste-identitaire est réductible à des combinaisons de ces deux acceptions du « sens » – et réciproquement : toute signification réductible à des combinaisons de ces deux acceptions du « sens » est ensembliste-identitaire. Autrement dit : les énoncés significatifs au sens ensembliste-identitaire concernent toujours les inclusions dans des classes, les insertions dans des relations, et la combinatoire qui peut être construite là-dessus.

Autre formulation de la thèse : les significations au sens ensembliste-identitaire sont constructibles par classes, propriétés et relations (« par figures et mouvements », aurait dit Descartes).

Corollaire de la thèse : il existe des significations qui ne sont pas constructibles par classes, propriétés et relations.

L’exemple immédiat est, évidemment, celui des significations qui constituent « primitivement » un domaine de classes, propriétés et relations (tel, par exemple, le domaine minimal de signes, syntaxe et sémantique nécessaire pour commencer à faire des mathématiques). Il est sans doute aussi le plus contraignant pour les formalistes et les positivistes. Mais le domaine essentiel (et dont, en fait, l’exemple précédent n’est qu’un cas particulier) est celui des significations imaginaires sociales et de celles que l’on peut désigner, par abus de langage, comme les significations psychiques [14].

Car, en fait, on a dû s’en apercevoir, nous nous sommes donné une autre« primitive » : l’énoncé significatif. Autant dire : on s’est donné une langue naturelle, et une classe de locuteurs de cette langue, pour qui il existe des critères, peut-être changeants et flous, mais suffisants quant au besoin/usage, de discrimination entre énoncés significatifs et énoncés non significatifs. Et, bien évidemment, toute tentative de « commencer » les mathématiques, de quelque façon que ce soit, est obligée de présupposer cette langue naturelle, de se « la donner », de même que la capacité de ses locuteurs de distinguer énoncés significatifs et non significatifs.

Or cette « langue naturelle » – qui n’a évidemment rien de « naturel » – est chaque fois socialement instituée et n’existe que moyennant son institution sociale. De ce fait même, elle porte – elle convoie – des significations qui ne sont pas ensemblistes-identitaires : des significations imaginaires sociales. Mais nous savons aussi – et nous l’avons de nouveau constaté – qu’il est impossible de parler, dans n’importe quel cadre, sans utiliser les opérateurs ensemblistes-identitaires (et, par exemple, les opérateurs classe, relation, propriété). D’où : la « partie » ensembliste est « partout dense » dans le langage naturel.

Ce n’est pas ici le lieu d’essayer d’avancer dans l’élucidation du mode d’être et de l’organisation des significations imaginaires sociales. Je me bornerai à quelques notations.

Il nous faut sans doute distinguer une première couche, en un sens originaire et fondatrice, du signifier, que l’on peut appeler, en souvenir de Kant, transcendantale et qui présuppose l’imaginer radical. L’imaginer radical est la position, ex nihilo, de quelque chose qui n’ « est » pas et la liaison (sans détermination préalable, « arbitraire ») entre ce quelque chose qui n’« est » pas et quelque chose qui, par ailleurs, « est » ou n’« est » pas. Cette position et cette liai­ son sont évidemment présupposées par toute relation signitive [15] et tout langage. Par là même elles sont fondatrices de tout domaine ensembliste-identitaire comme de tout autre domaine humainement concevable. Ainsi, écrire (ou lire et comprendre) « 0 ≠ 1 » présuppose la position de « ronds » et de « barres » « matériels-abstraits » (toujours identiques à eux-mêmes, quelle qu’en soit la« réalisation » concrète) en tant que signes (qui, comme tels, ne « sont » pas « naturellement »), mais aussi la position des « notions », « idées », « concepts », ou comme on voudra, zéro, un, différent qui, eux non plus, ne « sont » pas comme tels « naturellement », et la liaison des uns et des autres. C’est moyennant cette liaison que« 0 ≠ 1 » signifie -et, pour qu’il signifie, il faut la capacité de voir dans « 0 ≠ 1 » ce qui n’y « est » pas, des zéro et des un là où « il n’y a que » des ronds et des barres.

À l’autre extrémité, il y a les significations imaginaires sociales nucléaires ou centrales, dont nous n’avons pas à nous occuper ici. Qu’il suffise de rappeler, encore unefois, que ces significations impliquent constamment les opérations ensemblistes-identitaires, mais ne s’y épuisent pas. Elles s « instrumentent » toujours dans des classes, des relations et des propriétés – mais ne sont pas constructibles à partir de celles-ci.

Au contraire : c’est moyennant les significations imaginaires sociales que s’opère la position de classes, propriétés et relations dans le monde créé par la société. L’institution imaginaire de la société revient à la constitution de points de vue « arbitraires », à partir desquels « équivalences » et « relations » sont établies. (Par exemple, des paroles spécifiques prononcées par un individu particulier dans un endroit et un contexte spécifiques établissent l’équivalence entre un bout de pain et le corps d’un Dieu – ou font entrer tel objet dans le cercle de relations qui caractérise le « sacré ».) Et, certes, un des champs à explorer ici serait la manière dont « équivalence » et « relation » se transforment lorsqu’elles fonctionnent, non plus dans le domaine ensembliste-identitaire, mais dans le domaine imaginaire au sens propre et fort du terme.

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Seconde partie disponible ici